雙曲線綜合題全解析：標準方程、定值證明與存在性探究

典型例題：

已知雙曲線E：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a＞0，b＞0) \)的左，右頂點分別為A1，A2，|A₁A₂|＝6，雙曲線E漸近線的方程為2x±3y＝0，過（4，0）作斜率非零的直線l交E于M，N，直線A1M與直線A2N交于點P，直線A₂M與直線A₁N交于點Q．

（1）求雙曲線E的標準方程；

（2）設直線A₁M與直線A₂N的斜率分別為k₁，k₂，求證\(\frac{k_1}{k_2}\)為定值；

（3）在x軸上是否存在定點T，使得定點T恰好在以PQ為直徑的圓上，若存在，求出T的坐標；若不存在，說明理由．

題目類型與知識點定位：

本題屬于圓錐曲線中的雙曲線綜合應用，涉及以下核心知識點：

雙曲線標準方程：利用頂點與漸近線求參數。

定值問題：聯立直線與雙曲線，結合韋達定理分析斜率比值。

存在性問題：通過代數運算驗證圓上定點是否存在。

解題思路與方法：

（1）求雙曲線標準方程核心思路：

利用頂點距離確定\(a\)，漸近線方程求\(b\)，直接寫出標準方程。

關鍵公式：    \[ \text{漸近線方程} \ y = \pm \frac{b}{a}x \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{a} = \frac{2}{3} \]

（2）證明斜率比值為定值

核心步驟：

1. 設直線方程并聯立雙曲線，利用韋達定理表示交點坐標關系。

2. 將斜率表達式轉化為韋達定理形式，化簡求比值。

（3）存在性分析：圓上定點T 核心方法：

1. 求直線交點\(P, Q\)的坐標（含參數）。

2. 建立以\(PQ\)為直徑的圓方程，代入\(T(t,0)\)求解\(t\)。

3. 分析方程解的存在性。

詳細解答：

（1）求雙曲線E的標準方程

已知條件：

左右頂點距離\(|A_1A_2| = 6 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3\)。

漸近線方程為\(2x \pm 3y = 0\)，即斜率\(\pm \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3} \Rightarrow b = 2\)。

標準方程：   \[ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1 \]

（2）證明\(\frac{k_1}{k_2}\)為定值

步驟1：設直線\(l\)方程

過點\((4,0)\)，設\(l: y = k(x-4)\)（\(k \neq 0\)）。

步驟2：聯立雙曲線方程

代入\(y = k(x-4)\)至雙曲線方程：

\[ \frac{x^2}{9} - \frac{k^2(x-4)^2}{4} = 1 \]

整理得：

\[ (4 - 9k^2)x^2 + 72k^2x - 144k^2 - 36 = 0 \]

步驟3：韋達定理分析根的關系

設交點\(M(x_1, y_1)\)、\(N(x_2, y_2)\)，則：

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = \dfrac{72k^2}{9k^2 - 4} \\ x_1x_2 = \dfrac{144k^2 + 36}{9k^2 - 4} \end{cases} \]

步驟4：計算斜率比值

斜率定義：

\[ k_1 = \frac{y_1}{x_1 + 3}, \quad k_2 = \frac{y_2}{x_2 - 3} \]

代入\(y_1 = k(x_1 - 4)\)、\(y_2 = k(x_2 - 4)\)：

\[ \frac{k_1}{k_2} = \frac{k(x_1 - 4)(x_2 - 3)}{k(x_2 - 4)(x_1 + 3)} = \frac{(x_1x_2 - 3x_1 - 4x_2 + 12)}{(x_1x_2 - 4x_1 + 3x_2 - 12)} \]

- 代入韋達定理結果，化簡分子與分母：

\[ \text{分子} = x_1x_2 - 3x_1 - 4x_2 + 12 = \frac{-108k^2}{9k^2 - 4} \\ \text{分母} = x_1x_2 - 4x_1 + 3x_2 - 12 = \frac{972k^2}{9k^2 - 4} \]

最終比值：

\[ \frac{k_1}{k_2} = \frac{-108k^2}{972k^2} = -\frac{1}{9} \quad (\text{定值}) \]

（3）存在性分析：求x軸上定點T

步驟1：求交點P、Q的坐標

- 直線\(A_1M\)方程：

過\(A_1(-3,0)\)和\(M(x_1, y_1)\)，方程為：

\[ y = \frac{y_1}{x_1 + 3}(x + 3) \]

- 直線\(A_2N\)方程：

過\(A_2(3,0)\)和\(N(x_2, y_2)\)，方程為：

\[ y = \frac{y_2}{x_2 - 3}(x - 3) \]

聯立求交點P：

解方程組得：

\[ P\left( \frac{3(x_1 + 3)}{x_1 - x_2 + 6}, \frac{y_1(x_2 - 3) + y_2(x_1 + 3)}{x_1 - x_2 + 6} \right) \]

同理求Q點坐標：

聯立直線\(A_2M\)與\(A_1N\)，解得類似表達式。

步驟2：建立以PQ為直徑的圓方程

設\(P(p_x, p_y)\)、\(Q(q_x, q_y)\)，圓方程為：

\[ (x - p_x)(x - q_x) + (y - p_y)(y - q_y) = 0 \]

步驟3：代入T(t, 0)并解方程

令\(y = 0\)，得： \[ (t - p_x)(t - q_x) + p_y q_y = 0 \]

代入\(P\)、\(Q\)坐標表達式（含參數\(k\)），化簡后得到關于\(t\)的方程：

\[ t^2 - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \pm 3 \]

步驟4：驗證存在性

當\(t = 3\)或\(t = -3\)時，方程恒成立，與參數\(k\)無關。

結論：存在定點\(T(3,0)\)和\(T(-3,0)\)，使得以\(PQ\)為直徑的圓經過\(T\)。