初中數(shù)學(xué)三角形、四邊形、圓輔助線的添加方

01

三角形中常見輔助線的添加

1. 與角平分線有關(guān)的

（1）可向兩邊作垂線；

（2）可作平行線，構(gòu)造等腰三角形；

（3）在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。

2. 與線段長度相關(guān)的

（1）截長：

證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí)，經(jīng)常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可；

（2）補(bǔ)短：

證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí)，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可；

（3）倍長中線：

題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形；

（4）遇到中點(diǎn)，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。

3. 與等腰等邊三角形相關(guān)的

（1）考慮三線合一；

（2）旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，構(gòu)造全都三角形，等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，等邊旋轉(zhuǎn)60°。

02

四邊形中常見輔助線的添加

1. 和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法

平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形。

（1）利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形；

（2）利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形；

（3）利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形。

2. 與矩形有關(guān)的輔助線作法

（1）計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題。

（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題。和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少。

3. 和菱形有關(guān)的輔助線的作法

和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題。

（1）作菱形的高；

（2）連結(jié)菱形的對角線。

4. 與正方形有關(guān)輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多。解決正方形的問題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線。

5. 與梯形有關(guān)的輔助線的作法

和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的 ，主要涉及以下幾種類型：

（1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；

（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；

（3）作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；

（4）延長兩腰構(gòu)成三角形；

（5）作兩腰的平行線等。

03

圓中常見輔助線的添加

1. 遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問題時(shí)）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑。

作用：

① 利用垂徑定理；

② 利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；

③ 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。

2. 遇到有直徑時(shí)

常常添加（畫）直徑所對的圓周角

作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形

3. 遇到90度的圓周角時(shí)

常常連結(jié)兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)

作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑

4. 遇到弦時(shí)

常常連結(jié)圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)。

作用：

①可得等腰三角形；

②據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。

5. 遇到有切線時(shí)

常常添加過切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）；

作用：利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn)；

作用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。

6. 遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)

（1） 若直線和圓的公共點(diǎn)還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。

作用：若OA=r，則l為切線。

（2） 若直線過圓上的某一點(diǎn)，則連結(jié)這點(diǎn)和圓心（即作半徑）

作用：只需證OA⊥l，則l為切線。

（3） 有遇到圓上或圓外一點(diǎn)作圓的切線。

7. 遇到兩相交切線時(shí)（切線長）

常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)。

作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到

① 角、線段的等量關(guān)系

② 垂直關(guān)系

③ 全等、相似三角形

8. 遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)

連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。

作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得

① 內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線；

② 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。

9. 遇到三角形的外接圓時(shí)

連結(jié)外心和各頂點(diǎn)

作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。

10. 遇到兩圓外離時(shí)

（解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題）常常作出過切點(diǎn)的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線。

作用：

①利用切線的性質(zhì)；

②利用解直角三角形的有關(guān)知識。

11. 遇到兩圓相交時(shí)

常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點(diǎn)和圓心等。

作用：

①利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識；

② 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；

③ 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)；

④ 垂徑定理。

12. 遇到兩圓相切時(shí)

常常作連心線、公切線。

作用：

①利用連心線性質(zhì)；

②切線性質(zhì)等。

13. 遇到三個(gè)圓兩兩外切時(shí)

常常作每兩個(gè)圓的連心線；

作用：可利用連心線性質(zhì)。

14. 遇到四邊形對角互補(bǔ)時(shí)

常常添加輔助圓。

作用：以便利用圓的性質(zhì)。

來源：高昇教育