2024-2025學年廣東省深圳市南山區高三（上）期末數學試卷
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|2x2+x﹣1≤0}，則M∩?RN＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，1，2} B．{﹣2，1，2} C．{0} D．{﹣1，1}
2．復數
的虛部為（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
3．已知平面向量
，
滿足|
|＝1，
＝（1，
），|
﹣
|＝1，則|
+
|＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知a＞0，b＞0，a+b＝2ab，則a+b的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若
，則sinθ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6．設橢圓C：
的一個焦點為F，點O為坐標原點，若C上存在點P使得△OPF為等邊三角形，則C的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．
7．設函數f（x）＝x3﹣（a﹣1）x2+x+b，則“a+b＝2”是“f（x）的圖象關于（0，1）對稱”的（ ）
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
8．圖1是由矩形ABFG，直角三角形ABC和菱形BCDE組成的平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠BAC＝90°，∠BCD＝60°，將矩形ABFG，菱形BCDE分別沿AB，BC折起，使得BE與BF重合，連接DG，得到如圖2所示的五面體，則該五面體的體積為（ ）
A．1 B．
C．
D．2
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
（多選）9．已知函數f（x）＝cos2x和
，則（ ）
A．f（x）與g（x）有相同的最小正周期
B．f（x）與g（x）在區間
上均單調遞減
C．當
時，f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個交點
D．f（x）與g（x）的圖象有相同的對稱軸
（多選）10．已知樣本數據x1，x2，x3，x4，其中x1＜x2＜x3＜x4，由這組數據得到新樣本數據x1，x2+1，x3﹣1，x4，則（ ）
A．兩組樣本數據的極差一定相等
B．兩組樣本數據的平均數一定相等
C．兩組樣本數據的第80百分位數一定相等
D．兩組樣本數據的方差可能相等
（多選）11．已知函數f（x）的定義域為R，f（0）≠0，且f（1）＝0，若
，則（ ）
A．f（0）＝1
B．f（x）不是偶函數
C．f（x）的一個周期為4
D．f（32+62+92+…+20252）＝﹣1
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S2＝3a1，且a4＝8，則S5＝ ．
13．設A1，A2，…，A6是圓周上的6個等分點，從這6個點中任選3個，兩兩相連后得到的三角形是直角三角形的概率為 ．
14．如圖所示，已知F1，F2分別為雙曲線
的左、右焦點，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，記△AF1F2的內切圓O1的面積為S1，△BF1F2的內切圓O2的面積為S2，則S1+S2的取值范圍是
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
．
（1）求B；
（2）設AC邊上的高為h，若
，且b＝3，求△ABC周長的取值范圍．
16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝BC＝1，AB＝PD＝2，設E為PB的中點．
（1）證明：CE∥平面PAD；
（2）求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值．
17．在平面直角坐標系中，過拋物線C：y2＝2px（p＞0）焦點的直線l，交C于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點，且x1x2＝1．
（1）求C的方程；
（2）若C在M，N處的切線交于點G，設切線GM，GN的斜率分別為k1，k2．
（i）證明：k1?k2為定值；
（ii）求△GMN面積的最小值．
18．設函數f（x）＝mx2﹣（2m+4）x+2lnx，m∈R．
（1）當m＝0時，證明：f（x）≤﹣2﹣2ln2；
（2）已知f（x）有兩個極值點．
（i）求m的取值范圍；
（ii）若曲線C：y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線與C有且僅有一個交點，求m的值．
19．設n（n≥3）元正整數集合M＝{a1，a2，…，an}，集合A為M的任意一個非空子集，記A中所有元素之和為S（A）．
（1）若M＝{1，3，9}，求S（A）的所有可能取值；
（2）已知數列{an}為等比數列，且a1＝1．
（i）設Ai，Aj是M的任意兩個非空子集，證明：S（Ai）≠S（Aj）；
（ii）若將S（A）的所有可能取值按照從小到大的順序排列可構成等差數列，求{an}的通項公式．
