2025年浙江省杭州市高考數學一模試卷
一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡的相應位置。
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，
，則A∩B＝（ ）
A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}
2．（5分）函數
是（ ）
A．奇函數
B．偶函數
C．既非奇函數也非偶函數
D．既是奇函數也是偶函數
3．（5分）已知直線y＝2x是雙曲線
的一條漸近線，則C的離心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．或
4．（5分）將函數y＝sinx的圖像向左平移φ（0＜φ＜2π）個單位，得到函數y＝g（x）的圖像，則“y＝g（x）是偶函數”是“
”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
5．（5分）已知向量
，若
，則t＝（ ）
A．1或
B．﹣2或 C．﹣1或2 D．﹣2或1
6．（5分）設f（x）＝ex+lnx，滿足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）．若函數f（x）存在零點x0，則（ ）
A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c
7．（5分）已知
，則λ＝（ ）
A．1 B．
C．
D．2
8．（5分）對?x∈[1，+∞），不等式（（lnax）2﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，則（ ）
A．若
，則b≤e B．若，則b＞e
C．若
，則ab＝ee D．若，則ba＝ee
二、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足MN⊥OP的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多選）10．（6分）已知函數f（x）＝x3﹣x2﹣ax（x≥0），則（ ）
A．若f（x）min＝f（1），則a＝1
B．若f（x）min＝f（1），則
C．若a＝1，則f（x）在（0，1）上單調遞減
D．若，則f（x）在（1，3）上單調遞增
（多選）11．（6分）已知函數f（x）的定義域為R，若f（f（x）+yz）＝x+f（y）f（z），則（ ）
A．f（1）＝0 B．f（f（x））＝x
C．f（xy）＝f（x）f（y） D．f（x+y）＝f（x）f（y）
三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）曲線y＝lnx在點M（e，1）處切線的方程為 ．
13．（5分）已知復數z1，z2的實部和虛部都不為0，滿足①
；②|z1z2|＝2，則z1＝ ，z2＝ ．（寫出滿足條件的一組z1和z2）
14．（5分）已知雙曲線C1，C2都經過點（1，1），離心率分別記為e1，e2，設雙曲線C1，C2的漸近線分別為y＝±k1x和y＝±k2x．若k1k2＝1，則
．
四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．已知在△ABC中，
．
（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若點D在AB邊上，且BD＝2AD．若CD＝2，求△ACD的面積．
16．在直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M在拋物線C上，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為
．
（1）求C的方程；
（2）若點（﹣1，1）關于直線y＝kx對稱的點在C上，求k的值．
17．一設隨機變量X所有可能的取值為x1，x2，?，xn，P（X＝xi）＝pi＞0（i＝1，2，?，n），且p1+p2?+pn＝1．定義事件X＝xi的信息量為Hi＝﹣lnpi，稱X的平均信息量H（X）＝﹣（p1lnp1+p2lnp2+?+pnlnpn）為信息熵．
（1）若n＝3，pk+1＝2pk（k＝1，2），求此時的信息熵；
（2）最大熵原理：對一個隨機事件的概率分布進行預測時，要使得信息熵最大．信息熵最大就是事物可能的狀態數最多，復雜程度最大，概率分布最均勻，這才是風險最小（最合理）的決定．證明：H（X）≤lnn，并解釋等號成立時的實際意義．
（參考不等式：若f（x）＝lnx，則
18．已知函數f（x）＝axlnx﹣x3﹣1．
（1）若a＝1，求f（x）的單調區間；
（2）若0≤a≤3，求證：f（x）＜0；
（3）若
使得h（x1）＝h（x2）＝b，求證：be+1＜|x1﹣x2|＜b+1．
19．已知正項有窮數列A：a1，a2，?，aN（N≥3），設
，記T的元素個數為P（T）．
（1）若數列A：1，2，4，16，求集合T，并寫出P（T）的值；
（2）若A是遞增數列或遞減數列，求證：“P（T）＝N﹣1”的充要條件是“A為等比數列”；
（3）若N＝2n+1，數列A由2，4，8，?，2n，4n這n+1個數組成，且這n+1個數在數列A中每個至少出現一次，求P（T）的取值個數．
