深圳市 2020 年普通高中高三年級(jí)線上統(tǒng)一測(cè)試

數(shù)學(xué)（理科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．已知集合A?{0，1，2，3}，B?{x|x2?2x?3?0}，則A

2．設(shè)z?2?3i，則z的虛部為

3．某工廠生產(chǎn)的30個(gè)零件編號(hào)為01，02，…，19，30，現(xiàn)利用如下隨機(jī)數(shù)表從中抽取5個(gè)進(jìn)行檢

測(cè).若從表中第1行第5列的數(shù)字開(kāi)始，從左往右依次讀取數(shù)字，則抽取的第5個(gè)零件編號(hào)為

A．25B．23C．12D.07

4．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a2?3，a5?9，則S6為

5．若雙曲線x?y?（a?0，b?0）的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,?2)，則該雙曲線的離心率為

a2b21

6．已知tan???3，則sin 2(??π)?

4

7．(x?2)7的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為

x

8．函數(shù)f?x??ln | e2x?1|?x的圖像大致為

9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某四面體的三視圖，則該四面體的外接球表面積為

10．已知?jiǎng)狱c(diǎn)

（第9題圖）

在以F，F為焦點(diǎn)的橢圓x2?y?上，動(dòng)點(diǎn)N在以為圓心，半徑長(zhǎng)為|MF|

M1241M1

的圓上，則|NF2|的最大值為

11．著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理．設(shè)點(diǎn)O，H分別是△ABC的外心、垂心，且M為BC中點(diǎn)，則

12．已知定義在[0π]上的函數(shù)f(x)?sin(?x?π)(??0)的最大值為?，則正實(shí)數(shù)?的取值個(gè)數(shù)

，

463

最多為

二、填空題：本大題共4小題，每小題 5 分，共20分．

?x?2y?2?0

13．若x,y滿足約束條件?x?y?1?0，則z?x?2y的最小值為        ．

?x?1

14．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn?2an?n，則a6???．

15．很多網(wǎng)站利用驗(yàn)證碼來(lái)防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.某馬拉松賽事報(bào)名網(wǎng)站的登錄驗(yàn)證碼由0，1，2，…，9中的四個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成，將從左往右數(shù)字依次增大的驗(yàn)證碼稱為“遞增型

驗(yàn)證碼”(如0123)，已知某人收到了一個(gè)“遞增型驗(yàn)證碼”，則該驗(yàn)證碼的首位數(shù)字是1的概率為．

16．已知點(diǎn)M(m,m?1)和點(diǎn)N(n,n?1)(m?n)，若線段MN上的任意一點(diǎn)P都滿足：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的

22

所有直線中恰好有兩條直線與曲線C:y?1x2?x(?1?x?3)相切，則|m?n|的最大值為．

2

三 、 解答題： 共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考Th都必須作答．第22、23題為選考題，考Th根據(jù)要求作答．

(一 ) 必考題：共60分．

17．（本小題滿分12分）

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，a2+b2?c2?2S.

（1）求cosC；

（2）若acosB?bsinA?c，a?，求b.

18．（本小題滿分12分）

如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形， 點(diǎn)M，N分別在棱C1C，

A1A上，且C1M?2MC，A1N?2NA.

1

（1）求證：NC1//平面BMD；

（2）若AA?3，AB?2AD?2，?DAB?π，A1

13

求二面角N?BD?M的正弦值.M

NC

AB

（第18題圖）

19．（本小題滿分12分）

已知以F為焦點(diǎn)的拋物線C:y2?2px(p?0)過(guò)點(diǎn)P(1,?2)，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，M為

AB中點(diǎn)，且OM?OP??OF.

（1）當(dāng)??3時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)OA?OB?12時(shí)，求直線l的方程.

20．（本小題滿分12分）

在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對(duì)機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開(kāi)始呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛伏期.一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：

（1）   求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過(guò)6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表.請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；

（3）以這1000名患者的潛伏期超過(guò)6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過(guò)6天發(fā)生的概

率，每名患者的潛伏期是否超過(guò)6天相互獨(dú)立.為了深入研究，該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20名患者，

其中潛伏期超過(guò)6天的人數(shù)最．有．可．能．（即．概．率．最．大．）是多少？ 附：

n(ad?bc)2

K，其中nabcd.

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)

21．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)?ex?aln(x?1).（其中常數(shù)e=2.718 28???，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）若a?R，求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1+e?a)上不單調(diào)，證明：1?1

?a.

aa?1

（二）選考題：共10分．請(qǐng)考Th在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．

22．（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

??x??2

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C的參數(shù)方程為

?tcos?,

（t為參數(shù)，為傾斜角），

1??y?tsin?,

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為??4 sin?．

（1）求C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）直線C1與C2相交于E,F兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(23,π)，若

2EF?PE?PF，

求直線C1的普通方程．

23．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講

已知a,b,c為正數(shù)，且滿足a?b?c?1.

（1）???9；

abc

證明：

（2）ac?bc?ab?abc?8.

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