高中物理試題答案與解析
如圖所示，一水平放置的半徑為R的圓環形剛性窄槽固定在桌面上，槽內嵌著1、2兩個大小相同的小球，他們的質量分別是m1、m2，小球與槽的兩壁剛好接觸而它們之間的摩擦可忽略不計，且槽的內半徑遠大于球的半徑。
（1）若1號球以初速度v0出發，與2號球發生碰撞，并粘在一起。求碰后兩球需要的向心力。
（2）若1號球與2號球發生的是彈性碰撞，且碰撞地點構成一個等邊三角形，討論m1：m2的值。
（3）若兩球發生的碰撞為非彈性碰撞，定義恢復系數為
，請計算從第一次到第2n+1次碰撞過程中B的路程（用m1、m2、e、R、n表達）。
【解答】解：（1）由題意可知1號球和2號球碰撞過程動量守恒，則有：m1v0＝（m1+m2）v
碰后對兩球整體，由牛頓第二定律有：F＝
聯立得到：F＝
（2）若兩球發生彈性碰撞，以碰撞前球1速度方向為正方向，有：m1v0＝m1v1+m2v2
機械能守恒：
聯立解得：
，
根據題意，當m1＜m2時，小球1反彈，反彈后與2號在Ⅲ位置相遇，則有：﹣v1＝2v2
代入兩式有：m2﹣m1＝4m1
整理可得：m1：m2＝1：5
當m1＞m2時，小球1不反彈，則2號多跑一圈，再追上1號，則：v2＝4v1
即：2m1＝4m1﹣4m2
解得：m1：m2＝2：1
（3）令1號球和2號球分別為A、B；若兩球發生的碰撞為非彈性碰撞，第1次碰后，兩球相對遠離速度為ev0，B比A多跑一圈后發生第2次碰撞，（B繞到A后而，下次碰撞的靠近速度就是ev0），運動時間為t1，則：
碰撞過程動量守恒，以v0的方向為正方向有：m1v0＝m1vA1+m2vB1
且由恢復系數定義有：
解得：
，vA1＝
那么B路程為：s1＝
第2次碰，B追上A，兩球相對遠離速度為e2v0，A比B多跑一圈，A比B多跑一圈后發生第3次碰撞，運動時間為t2，則：
碰撞過程動最守恒，以v0的方向為正方向有：m1v0＝m1vA2+m2vB2
且同理有：
解得：
，
B路程為：s2＝
…
第2n次碰撞，B追上A，兩球相對遠離速度為e2nv0，碰后A比B多跑一圈后，即將發生第2n+1次碰撞。
綜上所述，B的路程為s＝s1+s2+………+s2n+1
代入數據得：s＝
答：（1）碰后兩球需要的向心力為
。
（2）討論m1：m2的值情況是：①當m1＜m2時，m1：m2＝1：5；②當m1＞m2時，m1：m2＝2：1；
（3）若計算從第一次到第2n+1次碰撞過程中B的路程為。
（1）根據動量守恒定律和向心力的公式求解；
（2）根據彈性碰撞的兩個守恒，結合三次碰撞的位置關系，第一次碰撞后分兩種情況考慮，列碰撞后速度的關系式，聯立得到兩小球的質量之比；
（3）根據動量守恒定律、恢復系數定義和位置關系分別求出第一次、第二次……第2n+1次碰撞B球的路程，相加得到總路程。