如何應對二次函數在中考數學壓軸題

2024中考已經過去，很多同學反應題目相對前幾年，難度有所提升。其實從近幾年的高考數學出題走勢已經可以看出端倪，高考是教育的指揮棒，當高考試卷的構成出現變化時，中考試卷會多少受一些影響。二次函數作為初中階段學習的三大函數類型之一，具有綜合性強、難度高的特點，要求同學們具有較強的數學綜合素質，才能把題目解得完整，很受出題老師的青睞，常常會在試卷的壓軸題中有所展現。

二次函數的中考壓軸題通常是指在數學考試中難度較大、綜合性較強、考查知識點較多的題目。這類題目往往要求學生具備扎實的二次函數基礎知識，同時能夠靈活運用相關數學思想和方法解決問題。二次函數壓軸題常見的類型包括但不限于以下幾種：

1.函數圖像與性質：考查學生對二次函數圖像的平移、對稱、開口方向、頂點等性質的理解和應用。

2.函數與方程：涉及二次函數與一元二次方程的關系，如求解二次函數的零點、與x軸的交點、與y軸的交點等。

3.函數與不等式：解決與二次函數相關的不等式問題，如求解不等式組、函數值域、最值問題等。

4.函數與幾何：將二次函數與幾何圖形結合，如求解拋物線與直線、圓等圖形的交點，以及利用二次函數解決幾何最優化問題。

5.函數與實際問題：將二次函數應用于實際問題中，如物理運動問題、經濟問題等，考查學生將實際問題轉化為數學模型的能力。

6.函數與綜合題：結合二次函數與其他數學知識（如代數、幾何、三角等）的綜合應用，考查學生的綜合解題能力。

7.函數與創新題：設計新穎的題目，考查學生的創新思維和解決問題的能力。

下面是一道2024年蘇州中考數學的有關二次函數壓軸題目，就很有代表性：

如圖①，二次函數y＝x2+bx+c的圖象C1與開口向下的二次函數圖象C2均過點A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）求圖象C1對應的函數表達式；

（2）若圖象C2過點C（0，6），點P位于第一象限，且在圖象C2上，直線l過點P且與x軸平行，與圖象C2的另一個交點為Q（Q在P左側），直線l與圖象C1的交點為M，N（N在M左側）．當PQ＝MP+QN時，求點P的坐標；

（3）如圖②，D，E分別為二次函數圖象C1，C2的頂點，連接AD，過點A作AF⊥AD，交圖象C2于點F，連接EF，當EF∥AD時，求圖象C2對應的函數表達式．

【分析】（1）將A（1，0），B（3，0代入y＝x2+bx+c解方程組即可得到結論；

（2）設C2對應的函數表達式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），將點C（0，6）代入得，a＝﹣2．求得C2對應的函數表達式為y＝﹣2（x+1）6x+3），對稱軸為直線x＝1．作直線x＝1，交直線l于點H（如答圖①）由二次函數的對稱性得到QH＝PH，PM＝NQ，求得PH＝PM．設PH＝t（0＜l＜2），則點P的橫坐標為t+1，點M的橫坐標為2t+1，解方程即可得到結論；

（3）連接DE，交x軸于點G，過點F作FI⊥ED于點I，過點F作FJ⊥x軸于點J，（如答圖②），根據矩形 到現在得到IF＝GJ，IG＝FJ，設C2對應的函數表達式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），求得D（1，﹣4），E（1，﹣4a）．得到tmn∠FAB＝tm∠ADG＝，設GJ＝m（0＜m＜2），則AJ＝2+m，求得FJ＝，F（m+1，），解方程組得到m1＝0（舍去），m2＝，求得a＝﹣，于是得到結論．

【解答】解：（1）將A（1，0），B（3，0代入y＝x2+bx+c得，

解得，

∴圖象C1對應的函數表達式：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）設C2對應的函數表達式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），將點C（0，6）代入得，a＝﹣2．

∴C2對應的函數表達式為：y＝﹣2（x+1）6x+3），其對稱軸為直線x＝1．

又∵圖象C1的對稱軸也為直線x＝1．

作直線x＝1，交直線l于點H（如答圖①）

由二次函數的對稱性得，QH＝PH，PM＝NQ，

又∵PQ＝MP+QM，

∴PH＝PM．

設PH＝t（0＜l＜2），則點P的橫坐標為t+1，點M的橫坐標為2t+1，

將x＝t+1代入y＝﹣2（x+1）（x﹣3），得yP＝﹣2（t+2）（t﹣2），

將x＝2t+1代入y＝（x+1）（x﹣3），得yM＝（2t+2）（2t﹣2），

∵yP＝yM，

∴﹣2（t+2）（t﹣2）＝（2t+2）（2t﹣2），

即6t2＝12，解得，（舍去）．

∴點P的坐標為（+1，4）；

（3）連接DE，交x軸于點G，過點F作FI⊥ED于點I，過點F作FJ⊥x軸于點J，（如答圖②），

∵FI⊥ED，FJ⊥x軸，

∴四邊形IGJF為矩形，

∴IF＝GJ，IG＝FJ，

設C2對應的函數表達式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），

∵點D，E分別為二次函數圖象C1，C2的頂點，

∴D（1，﹣4），E（1，﹣4a）．

∴DG＝4，AG＝2，EG＝﹣4a，

在Rt△AGD中，，

∵AF⊥AD，

∴∠FAB+∠DAB＝90°，

又∵∠DAG+∠ADG＝90°，

∴∠ADG＝∠FAB，

∴tmn∠FAB＝tm∠ADG＝，

設GJ＝m（0＜m＜2），則AJ＝2+m，

∴FJ＝，F（m+1，），

∵EF∥AD，

∴∠FEl＝∠ADG，

∴tan∠FEl＝tan∠ADG＝＝，

∴EI＝2m，

∵EG＝EI+IG，

∴，

∴①，

∵點F在C2上，a（m+1+1）（m+1﹣3）＝，

即a（m+2）（m﹣2）＝，

∵m+2≠0，

∴a（m﹣2）＝②，

由①，②可得，

解得m1＝0（舍去），m2＝，

∴a＝﹣，

∴圖象C2對應的函數表達式為．

解決二次函數壓軸題時，學生需要做到以下幾點：

熟練掌握二次函數的基本概念、性質和圖像特征。

能夠靈活運用代數變換、因式分解、配方法等數學工具。

善于將實際問題轉化為數學模型，并運用數學知識解決。

注意審題，準確把握題目的要求和條件。

培養良好的解題習慣，如合理安排解題步驟、注意解題過程的邏輯性和完整性。

通過大量練習和總結，學生可以提高解決二次函數壓軸題的能力。同時，教師在教學中應注重引導學生深入理解二次函數的內涵，培養學生的數學思維和創新能力。