半角模型在初中幾何中的題目類型與解題思路
來源：好師來一帆
半角模型在初中幾何中主要涉及通過構造全等三角形來解決角度和線段長度問題。以下是對這種模型的類型與解題思路的詳細介紹：
等腰直角三角形中的半角模型
基本概念：在等腰直角三角形ABC中，如果從頂點A引出兩條射線AD和AE，使得∠DAE=45°，這也形成了半角模型。
解題策略：利用直角三角形的性質和相似三角形的原理，可以解決與線段比例和角度相關的問題。這種模型常用于證明線段之間的和差關系。
例題：如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E為BC邊上兩點，∠DAE＝45°，過A點作AF⊥AE，且AF＝AE，連接DF、BF．下列結論：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD＝4，CE＝3，則AB＝6
；④若AB＝BE，S△ABD
，其中正確的個數有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
解：∵AF⊥AE，
∴∠FAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠FAB＝∠EAC，
∵AB＝AC，AF＝AE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
故①正確；
∵∠DAE＝45°，∠FAE＝90°，
∴∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE，
∵AD＝AD，AF＝AE，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴∠FDA＝∠EDA，
∴AD平分∠EDF，
故②正確；
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，BC
AB，
∵△ABF≌△ACE，
∴∠ABF＝∠C＝45°，BF＝CE＝3，
∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°，
∴DF
5，
∵△FAD≌△EAD，
∴FD＝ED＝5，
∴BC＝BD+DE+CE＝4+5+3＝12，
∴AB＝6，
故③正確；
∵AB＝BE，∠ABE＝45°，
∴∠BAE＝∠BEA＝67.5°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠AED＝67.5°，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵AB＝AC，∠ABE＝∠C＝45°，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝CE，
∵BF＝CE，
∴BD＝BF，
∵∠FBD＝90°，
∴DFBD，
∴DEBD，
∴S△ADES△ABD，
故④錯誤；
綜上所述，正確的個數有3個，
故選：C．
正方形中的半角模型
基本概念：在正方形ABCD中，如果從頂點A引出兩條射線AE和AF，使得∠EAF=45°，則形成了一個典型的半角模型。
解題策略：利用旋轉構造全等三角形的方法，可以證明EF=DF+BE或EF=BE-DF等關系。通過這種方式，可以將復雜的線段關系簡化，便于找到解決問題的路徑。
等邊三角形中的半角模型
基本概念：在等邊三角形ABC中，如果從頂點A引出兩條射線AD和AE，使得∠DAE=60°，同樣構成了半角模型。
解題策略：通過延長邊并構造全等三角形，可以證明諸如EF=BE+CF之類的結論。這種方法依賴于等邊三角形的性質和全等三角形的構造。
已知∠MBN＝60°，等邊△BEF與∠MBN頂點B重合，將等邊△BEF繞頂點B順時針旋轉，邊EF所在直線與∠MBN的BN邊相交于點C，并在BM邊上截取AB＝BC，連接AE．
（1）將等邊△BEF旋轉至如圖①所示位置時，求證：CE＝BE+AE；
（2）將等邊△BEF順時針旋轉至如圖②、圖③位置時，請分別直接寫出AE，BE，CE之間的數量關系，不需要證明；
（3）在（1）和（2）的條件下，若BF＝4，AE＝1，則CE＝ ．
（1）證明：∵△BEF為等邊三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE與△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝EF+CF，
∴CE＝BE+AE；
（2）解：圖②結論為CE＝BE﹣AE，圖③結論為CE＝AE﹣BE，
圖②的理由如下：
∵△BEF為等邊三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE與△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝EF﹣CF，
∴CE＝BE﹣AE，
圖③的利用如下：
∵△BEF為等邊三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE與△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝CF﹣EF，
∴CE＝AE﹣BE；
（3）解：在（1）條件下，CE＝BE+AE＝BF+AE＝4+1＝5；
在（2）條件下，CE＝BE﹣AE＝BF﹣AE＝4﹣1＝3，
綜上所述，CE＝3或5，
故答案為：3或5．
綜上所述，半角模型是初中幾何中一種重要的思維工具，它通過構造全等三角形來簡化問題的復雜度，幫助學生更好地理解和掌握幾何圖形的性質。掌握這一模型對于提高解決幾何問題的能力具有重要意義。