利用圖形旋轉解決中考幾何的部分幾何題目
來源：好師來一帆
中考數學的幾何題目越來越靈活了，其中利用旋轉來解決的題目也比較多，部分題目也有一定的難度。好師來學科頻道總結了利用圖形旋轉?？嫉脑囶}類型，有需要的網友可以進行參考。
圖形旋轉問題的常見類型
利用圖形旋轉解決幾何問題在中考數學中常見的題型主要包括以下幾類：
1. 圖形的全等證明：通過旋轉一個圖形，使其與另一個圖形重合，從而證明兩個圖形全等。這種題型通常涉及到三角形或多邊形的全等證明，需要學生識別出圖形之間的相似性，并理解如何通過旋轉操作來實現全等。
2. 圖形的對稱性：這類題目考察學生對圖形對稱性的理解和運用。通過旋轉圖形來找出其對稱軸或對稱中心，或者判斷兩個圖形是否關于某條直線對稱。
3. 圖形的面積計算：在某些情況下，通過旋轉圖形可以簡化面積的計算。例如，將一個不規則圖形旋轉后與另一個圖形合并，形成一個更容易計算面積的規則圖形。
4. 圖形的組合與重構：這類題目要求學生通過旋轉、平移等操作將給定的圖形組合成一個新的圖形，或者將一個復雜圖形分解成幾個簡單的圖形。這需要學生能夠靈活運用圖形變換的知識。
5. 坐標系中的圖形變換：在坐標系中，通過旋轉點的坐標來研究圖形的變化。這類題目通常涉及到點的旋轉公式，需要學生能夠根據旋轉的角度和中心計算出旋轉后點的坐標。
6. 動態幾何問題：這類題目可能涉及到圖形在旋轉過程中的特殊位置或性質，如旋轉過程中的某個瞬間圖形滿足特定的條件（如面積最大、周長最小等）。
典型例題賞析：
綜合與探究
【問題背景】北師大版數學八年級下冊P89第12題（以下圖片框內）．
12．如圖，△ABC，△ADE均為頂角為42°的等腰三角形，BC，DE分別是底邊，圖中的哪兩個三角形可以通過怎樣的旋轉而相互得到？ |
【初步探究】
（1）我們需利用圖形的旋轉與圖形全等的聯系，并把特殊角度一般化．如圖1，在△ABC與△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求證：BD＝CE．
【類比探究】
（2）如圖2，在邊長為3的正方形ABCD中，點E，F分別是CD，BC上的點，且DE＝1．連接AE，AF，EF，若∠EAF＝45°，請直接寫出BF的長．
【深入探究】
（3）如圖3，D，P是等邊△ABC外兩點，連接BD并取BD的中點M，且∠APD＝120°，∠MPC＝60°．試猜想PA與PD的數量關系，并證明你的結論．
【拓展應用】
（4）如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，AD＝CD，
，
，請直接寫出BC的長．
參考答案：
（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE．
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，如圖：
∴DE＝BG＝1，AE＝AG，∠DAE∠BAG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠C＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAF＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF，
∵AF＝AF，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF＝EF，
設BF＝x，則EF＝x+1，CF＝3﹣x，CE＝2，
∴EF2＝CF2+CE2，即（x+1）2＝（3﹣x）2+4，
解得x＝
，
∴BF＝
；
（3）解：PA＝PD，延長PM至F，使得PF＝PC，連接CF，BF，如圖：
∵∠MPC＝60°，
∴△PFC是等邊三角形，
∴CF＝CP，∠FCP＝60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC，∠BCA＝60°，
∴∠BCF＝∠ACP，
∴△BCF≌△ACP（SAS），
∴PA＝BF，∠APC＝∠BFC，
∵∠APF＝∠APC﹣∠CPF＝∠APC﹣60°，
∴∠MPD＝360°﹣∠APD﹣∠APF＝360°﹣120°﹣（∠APC﹣60°）＝300°﹣∠APC，
∵∠MFP＝360°﹣∠PFC﹣∠BFC＝360°﹣60°﹣∠BFC＝300°﹣∠BFC，
∵APC＝∠BFC，
∴∠MPD＝∠MFB，
∵M是BD的中點，
∴BM＝DM，
∵∠PMD＝∠FMB，
∴△DPM≌△BFM（AAS），
∴PD＝BF，
∴PA＝PD；
（4）解：過點D作DE⊥BD，連接BE，CE，過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，延長DC至點G，如圖：
∵DE⊥DB，∠ADC＝90°，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
∵∠CDE+∠BDC＝∠BDE，∠ADB+∠BDC＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADB，
∵CD＝AD，DE＝BD，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝2
，∠CED＝∠ABD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°，
∴∠CED+∠CBD＝60°，
根據外角的性質可得∠BCE＝∠BCG+∠ECG＝∠CBD+∠BDC+∠CDE+∠CED＝∠CBD+∠BDE+∠CED＝60°+90°＝150°，
∴∠ECF＝30°，
∴EF＝
CE＝，CF＝
＝3，
∵∠BDE＝90°，DE＝BD＝
，
∴BE＝
，
∴BF＝
＝
＝11，
∴BC＝BF＝CF＝11﹣3＝8．
本題目類型的解題思路：
1. 利用圖形的旋轉與圖形全等的聯系：在初步探究中，通過觀察兩個三角形的相似性（如頂角相同、邊長相等），考慮通過旋轉操作使一個三角形與另一個重合，從而證明它們全等或找出它們之間的關系。
2. 特殊角度一般：在類比探究中，雖然給定的角度是45°，但解題時可以將這個特殊角度視為一般情況，即不依賴于特定的角度值，而是利用角度的性質（如45°是直角的一半）來進行推理。
3. 利用幾何性質進行推理：在深入探究中，通過觀察已知的幾何條件（如等邊三角形、中點、特定角度等），結合幾何學的基本定理和性質（如等邊三角形的性質、中線定理等），來推導未知量之間的關系。
4. 直接寫出結果：在拓展應用中，題目要求直接寫出結果，這意味著需要快速識別出圖形中的關鍵點和關鍵關系，然后利用已知信息和幾何知識直接計算出答案，而不是逐步展示完整的推導過程。
綜上所述，這類型題目的解題思想與思路主要包括：觀察圖形的相似性和對稱性，利用旋轉和全等的關系；將特殊角度一般化，利用角度的性質進行推理；利用幾何性質進行推理，以及快速識別關鍵點和關鍵關系，直接寫出結果。