2024年上海市春季高考數(shù)學試卷

一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

1．（4分）log2x的定義域        ．

2．（4分）直線x﹣y+1＝0的傾斜角大小為     ．

3．（4分）已知，則＝      ．

4．（4分）（x﹣1）6展開式中x4的系數(shù)為    ．

5．（4分）三角形ABC中，，則AB＝                 ．

6．（4分）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值為    ．

7．（5分）數(shù)列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范圍為         ．

8．（5分）三角形三邊長為5，6，7，則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離心率為  ．

9．（5分）已知，求g（x）≤2﹣x的x的取值范圍        ．

10．（5分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD為平行四邊形，AA1＝3，BD＝4且，求異面直線AA1與BD的夾角                 ．

11．（5分）正方形草地ABCD邊長1.2，E到AB，AD距離為0.2，F到BC，CD距離為0.4，有個圓形通道經(jīng)過E，F，且與AD只有一個交點，求圓形通道的周長      ．（精確到0.01）

12．（5分）a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，任意b1，b2，b3，b4∈R，滿足{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，求有序數(shù)列{b1，b2，b3，b4}有    對．

二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)

13．（4分）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（　　）

A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c

14．（4分）空間中有兩個不同的平面α，β和兩條不同的直線m，n，則下列說法中正確的是（　　）

A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n            B．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，則n⊥β 

C．若α∥β，m∥α，n∥β，則m∥n            D．若α∥β，m∥α，m∥n，則n∥β

15．（5分）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個盒子，設事件A：所選盒中有中國結，事件B：所選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則（　　）

A．事件A與事件B互斥                B．事件A與事件B相互獨立 

C．事件A與事件B∪C互斥                D．事件A與事件B∩C相互獨立

16．（5分）現(xiàn)定義如下：當x∈（n，n+1）時（n∈N），若f（x+1）＝f′（x），則稱f（x）為延展函數(shù)．現(xiàn)有，當x∈（0，1）時，g（x）＝ex與h（x）＝x10均為延展函數(shù)，則以下結論（　　）

（1）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）與y＝g（x）有無窮個交點

（2）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）與y＝h（x）有無窮個交點

A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 

C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立

三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18＝78分）

17．（14分）已知f（x）＝sin（ωx+），ω＞0．

（1）設ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域；

（2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期為π，若在x∈[π，a]上恰有3個零點，求a的取值范圍．

18．（14分）如圖，PA、PB、PC為圓錐三條母線，AB＝AC．

（1）證明：PA⊥BC；

（2）若圓錐側面積為為底面直徑，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣C的大小．

19．（14分）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱．

（1）隨機挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；

（2）進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單果質量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數(shù)，并預估果園中單果的質量．

20．（18分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A為橢圓上一點，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點．

（1）若點A的橫坐標為2，求|AF1|的長；

（2）設Γ的上、下頂點分別為M1、M2，記△AF1F2的面積為S1，△AM1M2的面積為S2，若S1≥S2，求|OA|的取值范圍．

（3）若點A在x軸上方，設直線AF2與Γ交于點B，與y軸交于點K，KF1延長線與Γ交于點C，是否存在x軸上方的點C，使得成立？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

21．（18分）記M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．

（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；

（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求證：對于任意a∈R，都有M（a）?[﹣4，+∞），且存在a，使得﹣4∈M（a）．

（3）已知定義在R上f（x）有最小值，求證“f（x）是偶函數(shù)“的充要條件是“對于任意正實數(shù)c，均有M（﹣c）＝L（c）”．