一、選擇題。共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1．（4分）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|﹣1≤x＜4}，則M∪N＝（　　）

A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|x＞﹣3} C．{x|﹣3＜x＜4} D．{x|x＜4}

2．（4分）若復數z滿足，則z＝（　　）

A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i

3．（4分）圓x2+y2﹣2x+6y＝0的圓心到x﹣y+2＝0的距離為（　　）

A． B．2 C．3 D．3

4．（4分）在的展開式中，x3的系數為（　　）

A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12

5．（4分）設，是向量，則“（+）?（﹣）＝0”是“＝﹣或＝”的（　　）

A．充分不必要條件 

B．必要不充分條件 

C．充要條件 

D．既不充分也不必要條件

6．（4分）設函數f（x）＝sinωx（ω＞0）．已知f（x1）＝﹣1，f（x2）＝1，且|x1﹣x2|的最小值為，則ω＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．（4分）生物豐富度指數是河流水質的一個評價指標，其中S，N分別表示河流中的生物種類數與生物個體總數．生物豐富度指數d越大，水質越好．如果某河流治理前后的生物種類數S沒有變化，生物個體總數由N1變為N2，生物豐富度指數由2.1提高到3.15，則（　　）

A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 

C．＝ D．＝

8．（4分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA＝PB＝4，PC＝PD＝2，該棱錐的高為（　　）

A．1 B．2 C． D．

9．（4分）已知（x1，y1），（x2，y2）是函數y＝2x的圖象上兩個不同的點，則（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

10．（4分）已知M＝{（x，y）|y＝x+t（x2﹣x），1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐標系中的點集．設d是M中兩點間的距離的最大值，S是M表示的圖形的面積，則（　　）

A．d＝3，S＜1 B．d＝3，S＞1 C． D．

二、填空題。共5小題，每小題5分，共25分。

11．（5分）拋物線y2＝16x的焦點坐標為       ．

12．（5分）在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于原點對稱．若，則cosβ的最大值為                ．

13．（5分）若直線y＝k（x﹣3）與雙曲線只有一個公共點，則k的一個取值為                 ．

14．（5分）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱．若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數列，底面直徑依次為65mm，325mm，325mm，且斛量器的高為230mm，則斗量器的高為    mm，升量器的高為      mm．（不計量器的厚度）

15．（5分）設{an}與{bn}是兩個不同的無窮數列，且都不是常數列．記集合M＝{k|ak＝bk，k∈N*}，給出下列四個結論：

①若{an}與{bn}均為等差數列，則M中最多有1個元素；

②若{an}與{bn}均為等比數列，則M中最多有2個元素；

③若{an}為等差數列，{bn}為等比數列，則M中最多有3個元素；

④若{an}為遞增數列，{bn}為遞減數列，則M中最多有1個元素．

其中正確結論的序號是     ．

三、解答題。共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16．（10分）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠A為鈍角，a＝7，．

（1）求∠A；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在，求△ABC的面積．

條件①：b＝7；

條件②：cosB＝；

條件③：csinA＝．

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．

17．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，點E在AD上，且PE⊥AD，DE＝PE＝2．

（1）若F為線段PE的中點，求證：BF∥平面PCD．

（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．

18．（15分）某保險公司為了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同保險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：

假設：一份保單的保費為0.4萬元；前三次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元．

假設不同保單的索賠次數相互獨立．用頻率估計概率．

（1）估計一份保單索賠次數不少于2的概率；

（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差．

（i）記X為一份保單的毛利潤，估計X的數學期望EX；

（ii）如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中EX估計值的大小，（結論不要求證明）

19．（15分）已知橢圓方程E：，以橢圓E的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形．過點（0，t）（t＞）且斜率存在的直線與橢圓E交于不同的兩點A，B，過點A和C（0，1）的直線AC與橢圓E的另一個交點為D．

（1）求橢圓E的方程及離心率；

（2）若直線BD的斜率為0，求t的值．

20．（15分）設函數f（x）＝x+kln（1+x）（k≠0），直線l是曲線y＝f（x）在點（t，f（t））（t＞0）處的切線．

（1）當k＝﹣1，求f（x）單調區間；

（2）證明：l不經過（0，0）；

（3）當k＝1時，設點A（t，f（t））（t＞0），C（0，f（t）），O（0，0），B為l與y軸的交點，S△ACO與S△ABO分別表示△ACO和△ABO的面積．是否存在點A使得2S△ACO＝15S△ABO成立？若存在，這樣的點A有幾個？

（參考數據：1.09＜ln3＜1.10，1.60＜ln5＜1.61，1.94＜ln7＜1.95）

21．（15分）已知集合M＝{（i，j，k，w）|i∈{1，2}，j∈{3，4}，k∈{5，6}，w∈{7，8}，且i+j+k+w為偶數}．給定數列A：a1，a2，…，a8和序列Ω：T1，T2，…，Ts，其中Tt＝（it，jt，kt，wt）∈M（t＝1，2，…，s），對數列A進行如下變換：將A的第i1，j1，k1，w1項均加1，其余項不變，得到的數列記作T1（A）；將T1（A）的第i2，j2，k2，w2項均加1，其余項不變，得到的數列記作T2T1（A）；……；以此類推，得到數列Ts?T2T1（A），簡記為Ω（A）．

（1）給定數列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），寫出Ω（A）；

（2）是否存在序列Ω，使得Ω（A）為a1+2，a2+6，a3+4，a4+2，a5+8，a6+2，a+4，a8+4？若存在，寫出一個Ω，若不存在，請說明理由；

（3）若數列A的各項均為正整數，且a1+a3+a5+a7為偶數，求證：“存在序列Ω，使得Ω（A）的各項都相等”的充要條件為“a1+a2＝a3+a4＝a5+a6＝a7+a8”．