2018年普通高等學校招生全國（Ⅱ）統一考試

理科數學

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．

A．B．C．D．

2．已知集合，則中元素的個數為

A．9B．8C．5D．4

3．函數的圖像大致為

4．已知向量，滿足，，則

A．4B．3C．2D．0

5．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為

A．B．C．D．

6．在中，，，，則

A．B．C．D．

7．為計算，設計了右側的程序框圖，則在空白框中應填入

A．B．C．D．

8．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如．在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是

A．B．C．D．

9．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為

A．B．C．D．

10．若在是減函數，則的最大值是

A．B．C．D．

11．已知是定義域為的奇函數，滿足．若，則

A．B．0C．2D．50

12．已知，是橢圓的左、右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為

A．    B．C．D．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．曲線在點處的切線方程為__________．

14．若滿足約束條件則的最大值為__________．

15．已知，，則__________．

16．已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為__________．

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據要求作答．

（一）必考題：共60分。

17．（12分）

記為等差數列的前項和，已知，．

（1）求的通項公式；

（2）求，并求的最小值．

18．（12分）

下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖．

為了預測該地區2018年的環境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據2000年至2016年的數據（時間變量的值依次為）建立模型①：；根據2010年至2016年的數據（時間變量的值依次為）建立模型②：．

（1）分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．

19．（12分）

設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．

（1）求的方程

（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程．

20．（12分）

如圖，在三棱錐中，，，為的中點．

（1）證明：平面；

（2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．

21．（12分）

已知函數．

（1）若，證明：當時，；

（2）若在只有一個零點，求．

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分．

22．[選修4－4：坐標系與參數方程]（10分）

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為

（為參數）．

（1）求和的直角坐標方程；

（2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率．

23．[選修4－5：不等式選講]（10分）

設函數．

（1）當時，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范圍．