2018年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）數學Ⅰ

參考公式：

錐體的體積，其中是錐體的底面積，是錐體的高．

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．

1．已知集合，，那么．

2．若復數滿足，其中i是虛數單位，則的實部為．

3．已知5位裁判給某運動員打出的分數的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分數的平均數為．

4．一個算法的偽代碼如圖所示，執行此算法，最后輸出的S的值為．

5．函數的定義域為．

6．某興趣小組有2名男生和3名女生，現從中任選2名學生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為

．

7．已知函數的圖象關于直線對稱，則的值是．

8．在平面直角坐標系中，若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是．

9．函數滿足，且在區間上，則的值為

．

10．如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為．

11．若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為．

12．在平面直角坐標系中，A為直線上在第一象限內的點，，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D．若，則點A的橫坐標為．

13．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為．

14．已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構成一個數列．記為數列的前n項和，則使得成立的n的最小值為．

二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15．（本小題滿分14分）

在平行六面體中，．

求證：（1）；

（2）．

16．（本小題滿分14分）

已知為銳角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

17．（本小題滿分14分）

某農場有一塊農田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧（P為此圓弧的中點）和線段MN構成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現規劃在此農田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內的地塊形狀為，要求均在線段上，均在圓弧上．設OC與MN所成的角為．

（1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；

（2）若大棚Ⅰ內種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為．求當為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大．

18．（本小題滿分16分）

如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為．

（1）求橢圓C及圓O的方程；

（2）設直線l與圓O相切于第一象限內的點P．

①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；

②直線l與橢圓C交于兩點．若的面積為，

求直線l的方程．

19．（本小題滿分16分）

記分別為函數的導函數．若存在，滿足且，則稱為函數與的一個“S點”．

（1）證明：函數與不存在“S點”；

（2）若函數與存在“S點”，求實數a的值；

（3）已知函數，．對任意，判斷是否存在，使函數與在區間內存在“S點”，并說明理由．

20．（本小題滿分16分）

設是首項為，公差為d的等差數列，是首項為，公比為q的等比數列．

（1）設，若對均成立，求d的取值范圍；

（2）若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）．