2018年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．設，則

A．B．C．D．

2．已知集合，則

A．B．

C．D．

3．某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番.為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：

建設前經濟收入構成比例建設后經濟收入構成比例

則下面結論中不正確的是

A．新農村建設后，種植收入減少

B．新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C．新農村建設后，養殖收入增加了一倍

D．新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半

4．記為等差數列的前項和.若，，則

A．B．C．D．

5．設函數.若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為

A．B．C．D．

6．在中，為邊上的中線，為的中點，則

A．B．C．D．

7．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為

A．B．C．3D．2

8．設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=

A．5B．6C．7D．8

9．已知函數．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是

A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）

10．下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．的三邊所圍成的區域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則

A．p1=p2B．p1=p3

C．p2=p3D．p1=p2+p3

11．已知雙曲線C：，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若為直角三角形，則|MN|=

A．B．3C．D．4

12．已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為

A．B．C．D．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．若，滿足約束條件，則的最大值為_____________．

14．記為數列的前項和.若，則_____________．

15．從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數字填寫答案）

16．已知函數，則的最小值是_____________．

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。

（一）必考題：60分。

17．（12分）

在平面四邊形中，，，，.

（1）求；

（2）若，求.

18．（12分）

如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

19．（12分）

設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為.

（1）當與軸垂直時，求直線的方程；

（2）設為坐標原點，證明：.

20．（12分）

某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立．（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點．

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．

（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

21．（12分）

已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若存在兩個極值點，證明：．

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。

22．[選修4—4：坐標系與參數方程]（10分）

在直角坐標系中，曲線的方程為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求的直角坐標方程；

（2）若與有且僅有三個公共點，求的方程.

23．[選修4—5：不等式選講]（10分）

已知.

（1）當時，求不等式的解集；

（2）若時不等式成立，求的取值范圍.