2019年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅰ）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則M∩N＝（　　）

A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}

2．（5分）設復數z滿足|z﹣i|＝1，z在復平面內對應的點為（x，y），則（　　）

A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1

C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝1

3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則（　　）

A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a

4．（5分）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（0.618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是（　　）

A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm

5．（5分）函數f（x）在[﹣π，π]的圖象大致為（　　）

A．B．

C．D．

6．（5分）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（　　）

A．B．C．D．

7．（5分）已知非零向量，滿足||＝2||，且（）⊥，則與的夾角為（　　）

A．B．C．D．

8．（5分）如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應填入（　　）

A．AB．A＝2

C．AD．A＝1

9．（5分）記Sn為等差數列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則（　　）

A．an＝2n﹣5B．an＝3n﹣10

C．Sn＝2n2﹣8nD．Snn2﹣2n

10．（5分）已知橢圓C的焦點為F1（﹣1，0），F2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為（　　）

A．y2＝1B．1C．1D．1

11．（5分）關于函數f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四個結論：

①f（x）是偶函數②f（x）在區間（，π）單調遞增

③f（x）在[﹣π，π]有4個零點④f（x）的最大值為2

其中所有正確結論的編號是（　　）

A．①②④B．②④C．①④D．①③

12．（5分）已知三棱錐P﹣ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為（　　）

A．8πB．4πC．2πD．π

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．（5分）曲線y＝3（x2+x）ex在點（0，0）處的切線方程為．

14．（5分）記Sn為等比數列{an}的前n項和．若a1，a42＝a6，則S5＝．

15．（5分）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束）．根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝的概率是．

16．（5分）已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，?0，則C的離心率為．

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。

17．（12分）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．設（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．

（1）求A；

（2）若a+b＝2c，求sinC．

18．（12分）如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．

19．（12分）已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．

（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；

（2）若3，求|AB|．

20．（12分）已知函數f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）為f（x）的導數．證明：

（1）f′（x）在區間（﹣1，）存在唯一極大值點；

（2）f（x）有且僅有2個零點．

21．（12分）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得﹣1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得﹣1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api﹣1+bpi+cpi+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假設α＝0.5，β＝0.8．

（i）證明：{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）為等比數列；

（ii）求p4，并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）

22．（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（t為參數）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρcosθρsinθ+11＝0．

（1）求C和l的直角坐標方程；

（2）求C上的點到l距離的最小值．

[選修4-5：不等式選講]（10分）

23．已知a，b，c為正數，且滿足abc＝1．證明：

（1）a2+b2+c2；

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．